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mod…mod…mod…

Non avendo niente da scrivere e dovendo esercitarmi a scrivere le soluzioni, vi scrivo la soluzione di questo problema che FeddyStra me l’ha fatto vedere ieri al Copernico (l’avrete già visto una migliaia di volte, ma mi è sembrato carino)

Trovare tutte le soluzioni intere positive di 3^x+4^y=5^z

Applico \pmod 4 all’equazione:
3^{x}+4^{y}=5^{z}~\pmod 4~\Longrightarrow~(-1)^{x} \equiv 1^{z}~\pmod 4
Da ciò si deduce che x è pari e quindi x=2x'
Applico \pmod 3 all’equazione:
3^{2x'}+4^{y}=5^{z}~\pmod 3~\Longrightarrow~1^{y} \equiv (-1)^{z}~\pmod 3
E quindi anche z deve essere pari z=2z'
A questo punto l’equazione diventa:
3^{2x'}+4^{y}=5^{2z'}
Spostando 3^{2x'} nell’altro membro e ricordando che 4^{y}=(2^{2})^{y}=2^{2y} otteniamo
2^{2y}=5^{2z'}-3^{2x'}~\Longrightarrow~2^{2y}=(5^{z'}+3^{x'})(5^{z'}-3^{x'})
Noto che fra (5^{z'}+3^{x'}) e (5^{z'}-3^{x'}) c’è una moltiplicazione e quindi devono essere entrambe potenze di 2 perché nell’altro membro abbiamo 2^{2y}
Siano ora
2^{a}=5^{z'}+3^{x'}
2^{b}=5^{z'}-3^{x'}
Naturalmente con a>b
e quindi
(5^{z'}+3^{x'})-(5^{z'}-3^{x'})=2 \cdot 3^{x'}=2^{a}-2^{b}~\Longrightarrow~2 \cdot 3^{x'}=2^{b}(2^{a-b}-1)
Nel primo membro ho solo un termine 2 e di conseguenza b=1
Dividendo entrambi i membri per 2
2 \cdot 3^{x'}=2(2^{a-b}-1)~\Longrightarrow~3^{x'}=2^{a-b}-1
Chiamo per comodità c=a-b e applico \pmod 3 all’equazione 3^{x'}=2^{a-b}-1~\Longrightarrow~3^{x'}=2^{c}-1
3^{x'}=2^{c}-1~\pmod 3~\Longrightarrow~(-1)^{c}-1 \equiv 0~\pmod 3
c è pari c=2c'
3^{x'}=2^{c}-1~\Longrightarrow~3^{x'}=2^{2c'}-1~\Longrightarrow~3^{x'}=(2^{c'}+1)(2^{c'}-1)
Applicando \pmod 3 al (2^{c'}+1) noto che 2^{c'} \equiv -1~\pmod 3, sostituendolo al (2^{c'}-1) ottengo 2^{c'}-1 \equiv -2 \equiv 1~\pmod 3. L’unico caso in cui una potenza di 3 è congruo a 1 \pmod 3 è 3^{0}=1.
Quindi 2^{c'-1}=1~\Longrightarrow~c'=1~\Longrightarrow~c=2.
Sapendo ora quanto vale c e quanto vale b possiamo calcolarci a=b+c=1+2=3
Siccome 2^{2y}=(5^{z'}+3^{x'})(5^{z'}-3^{x'})=2^{a} \cdot 2^{b}~\Longrightarrow~2y=a+b~\Longrightarrow~2y=3+1=4~\Longrightarrow~y=2
Ritornando ora al passaggio precedente avevo che 3^{x'}=(2^{c'}+1)(2^{c'}-1) con, come avevo dimostrato, c'=1 perciò l’equazione diventa 3^{x'}=(2+1) \cdot (2-1) da ciò x'=1~\Longrightarrow~x=2
Trovati x e y possiamo riscrivere l’equazione di partenza
3^2+4^2=5^z~\Longrightarrow~25=5^z da cui z=2.
L’unica terna di soluzione è quindi x=y=z=2
D’altronde 3, 4, e 5 sono proprio una terna pitagorica.

Questo post è stato pubblicato il 24 Aprile 2008 alle 20:22 ed è archiviato in V=PizzA con i tag , , , , , , , , , , , , , , , , , . Puoi seguire i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

7 Risposte a “mod…mod…mod…”

  1. Cassa Dice:
    24 Aprile 2008 a 21:00

    Ottimo..pulito ed affascinante…
    PS.2 errori di battitura .. tanto cese è a mano ^^

    Replica
  2. mod_2 Dice:
    24 Aprile 2008 a 22:03

    Grazie! Corretti gli errori!
    Colgo l’occasione per augurarvi buone vacanze:)

    ps. Il problema è un 1991 IMO Short List, ed è già apparso sul forum qualche mesetto fa…e mi son accorto solo adesso…

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  3. Anonimo Dice:
    25 Aprile 2008 a 13:38

    E meno male che eri un disastro!

    Per i mod viene molto bene con \pmod n

    \pmod n

    Cancella pure questa parte del messaggio quando l’hai visto :P

    Replica
  4. Anonimo Dice:
    25 Aprile 2008 a 13:39

    Ah, ed ero l’eucla eh :)

    Replica
  5. mod_2 Dice:
    25 Aprile 2008 a 14:00

    Grazie x il codice!
    Ciau!

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  6. exodd Dice:
    4 Ottobre 2008 a 13:49

    peccato che non hai usato il tuo amato (mod 2)
    (c’era un esercizio del senior in cui si applicava e non era neanche tanto lungo..)

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  7. mod_2 Dice:
    6 Ottobre 2008 a 18:59

    Ce ne erano due! Forse li metterò sul mio blog! ;)

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