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Aprile 24, 2008 di mod_2

Non avendo niente da scrivere e dovendo esercitarmi a scrivere le soluzioni, vi scrivo la soluzione di questo problema che FeddyStra me l’ha fatto vedere ieri al Copernico (l’avrete già visto una migliaia di volte, ma mi è sembrato carino)

Trovare tutte le soluzioni intere positive di $3^x+4^y=5^z$

Applico $\pmod 4$ all’equazione:
$3^{x}+4^{y}=5^{z}~\pmod 4~\Longrightarrow~(-1)^{x} \equiv 1^{z}~\pmod 4$
Da ciò si deduce che $x$ è pari e quindi $x=2x'$
Applico $\pmod 3$ all’equazione:
$3^{2x'}+4^{y}=5^{z}~\pmod 3~\Longrightarrow~1^{y} \equiv (-1)^{z}~\pmod 3$
E quindi anche $z$ deve essere pari $z=2z'$
A questo punto l’equazione diventa:
$3^{2x'}+4^{y}=5^{2z'}$
Spostando $3^{2x'}$ nell’altro membro e ricordando che $4^{y}=(2^{2})^{y}=2^{2y}$ otteniamo
$2^{2y}=5^{2z'}-3^{2x'}~\Longrightarrow~2^{2y}=(5^{z'}+3^{x'})(5^{z'}-3^{x'})$
Noto che fra $(5^{z'}+3^{x'})$ e $(5^{z'}-3^{x'})$ c’è una moltiplicazione e quindi devono essere entrambe potenze di 2 perché nell’altro membro abbiamo $2^{2y}$
Siano ora
$2^{a}=5^{z'}+3^{x'}$
$2^{b}=5^{z'}-3^{x'}$
Naturalmente con $a>b$
e quindi
$(5^{z'}+3^{x'})-(5^{z'}-3^{x'})=2 \cdot 3^{x'}=2^{a}-2^{b}~\Longrightarrow~2 \cdot 3^{x'}=2^{b}(2^{a-b}-1)$
Nel primo membro ho solo un termine $2$ e di conseguenza $b=1$
Dividendo entrambi i membri per $2$
$2 \cdot 3^{x'}=2(2^{a-b}-1)~\Longrightarrow~3^{x'}=2^{a-b}-1$
Chiamo per comodità $c=a-b$ e applico $\pmod 3$ all’equazione $3^{x'}=2^{a-b}-1~\Longrightarrow~3^{x'}=2^{c}-1$
$3^{x'}=2^{c}-1~\pmod 3~\Longrightarrow~(-1)^{c}-1 \equiv 0~\pmod 3$
$c$ è pari $c=2c'$
$3^{x'}=2^{c}-1~\Longrightarrow~3^{x'}=2^{2c'}-1~\Longrightarrow~3^{x'}=(2^{c'}+1)(2^{c'}-1)$
Applicando $\pmod 3$ al $(2^{c'}+1)$ noto che $2^{c'} \equiv -1~\pmod 3$ , sostituendolo al $(2^{c'}-1)$ ottengo $2^{c'}-1 \equiv -2 \equiv 1~\pmod 3$ . L’unico caso in cui una potenza di $3$ è congruo a $1 \pmod 3$ è $3^{0}=1$ .
Quindi $2^{c'-1}=1~\Longrightarrow~c'=1~\Longrightarrow~c=2.$
Sapendo ora quanto vale $c$ e quanto vale $b$ possiamo calcolarci $a=b+c=1+2=3$
Siccome $2^{2y}=(5^{z'}+3^{x'})(5^{z'}-3^{x'})=2^{a} \cdot 2^{b}~\Longrightarrow~2y=a+b~\Longrightarrow~2y=3+1=4~\Longrightarrow~y=2$
Ritornando ora al passaggio precedente avevo che $3^{x'}=(2^{c'}+1)(2^{c'}-1)$ con, come avevo dimostrato, $c'=1$ perciò l’equazione diventa $3^{x'}=(2+1) \cdot (2-1)$ da ciò $x'=1~\Longrightarrow~x=2$
Trovati $x$ e $y$ possiamo riscrivere l’equazione di partenza
$3^2+4^2=5^z~\Longrightarrow~25=5^z$ da cui $z=2$ .
L’unica terna di soluzione è quindi $x=y=z=2$
D’altronde 3, 4, e 5 sono proprio una terna pitagorica.

Pubblicato in V=PizzA | Contrassegnato da tag IMO, 1991, 3, 4, 5, copernico, dimostrazione, FeddyStra, mod, moduli, short list, TdN, Teoria dei Numeri, terna pitagorica, x, y, z, \' | 7 Commenti

7 Risposte

su Aprile 24, 2008 a 9:00 pm | Replica Cassa

Ottimo..pulito ed affascinante…
PS.2 errori di battitura .. tanto cese è a mano ^^
su Aprile 24, 2008 a 10:03 pm | Replica mod_2

Grazie! Corretti gli errori!
Colgo l’occasione per augurarvi buone vacanze:)

ps. Il problema è un 1991 IMO Short List, ed è già apparso sul forum qualche mesetto fa…e mi son accorto solo adesso…
su Aprile 25, 2008 a 1:38 pm | Replica Anonimo

E meno male che eri un disastro!

Per i mod viene molto bene con \pmod n

$\pmod n$

Cancella pure questa parte del messaggio quando l’hai visto
su Aprile 25, 2008 a 1:39 pm | Replica Anonimo

Ah, ed ero l’eucla eh
su Aprile 25, 2008 a 2:00 pm | Replica mod_2

Grazie x il codice!
Ciau!
su Ottobre 4, 2008 a 1:49 pm | Replica exodd

peccato che non hai usato il tuo amato (mod 2)
(c’era un esercizio del senior in cui si applicava e non era neanche tanto lungo..)
su Ottobre 6, 2008 a 6:59 pm | Replica mod_2

Ce ne erano due! Forse li metterò sul mio blog!

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