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Disuguaglianza fra la media aritmetica e geometrica

Dati n numeri reali positivi a_1,...,a_n si definisce
Media Aritmetica AM=\dfrac{a_1+...+a_n}{n}
Media Geometrica GM=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}
Allora AM deve essere maggiore o uguale di GM con il caso di uguaglianza solo quando gli a_i sono tutti uguali.
.
Dimostrazione:
.
Naturalmente se tutti gli a_i sono uguali allora avremo \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}=\sqrt[n]{a_1^n}=a_1=\dfrac{a_1 \cdot n}{n}=\dfrac{a_1+...+a_n}{n}.
.
Adesso supponiamo che non tutti gli a_i sono uguali fra di loro. Dividiamo la nostra dimostrazione in due parti:
1) Dimostramo che GM \le AM per qualunque n=2^k con k \in \mathbb{N}.
2) Dimostriamo che la disuguaglianza fra GM e AM è valida anche quando n \neq 2^k.
.
1) Dimostriamo per l’induzione che GM \le AM per qualunque n=2^k con k \in \mathbb{N}.
.
Passo base n=2
\sqrt{x_1x_2} \le \dfrac{x_1+x_2}{2}
x_1x_2 \le \dfrac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2}{4}
4x_1x_2 \le x_1^2+x_2^2+2x_1x_2
0 \le x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1-x_2)^2
Che è certamente verificata.
.
Passo induttivo GM \le AM con n=2^{k-1} \Longrightarrow GM \le AM con n=2^{k}
\dfrac{x_1+...+x_{2^k}}{2^k}=\dfrac{\dfrac{x_1+...+x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}+\dfrac{x_{2^{k-1}+1}+...+x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2} \ge\dfrac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 \cdots x_{2^{k-1}}}+\sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1} \cdots x_{2^k}} }{2} \ge\sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 \cdots x_{2^k}}}=\sqrt[2^k]{x_1 \cdots x_{2^k}}
e quindi \dfrac{x_1+...+x_{2^k}}{2^k} \ge \sqrt[2^k]{x_1 \cdots x_{2^k}}. Siccome avevamo supposto che gli a_i non sono tutti uguali allora vale \dfrac{x_1+...+x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 \cdots x_{2^k}} con k \in \mathbb{N}.
.
2) Dimostriamo che la disuguaglianza fra GM e AM è valida anche quando n \neq 2^k
.
Sia Z una potenza di 2 maggiore di n e P=\dfrac{x_1+...+x_n}{n}. Allora abbiamo che
P=\dfrac{\dfrac{Z}{n}(x_1+...+x_n)}{Z}=\dfrac{x_1+...+x_n+\dfrac{Z-n}{n}(x_1+...+x_n)}{Z}==\dfrac{x_1+...+x_n+(Z-n)P}{Z}>\sqrt[Z]{x_1 \cdots x_n \cdot P^{Z-n}}
e quindi
P^Z>x_1 \cdots x_n \cdot P^{Z-n}
P^n>x_1 \cdots x_n
P>\sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}
\dfrac{x_1+...+x_n}{n}>\sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}
.
Abbiamo dimostrato la disuguaglianza sia quando n è una potenza di 2 sia quando
non lo è, e quindi la disuguaglianza è dimostrata per tutti i n naturali.


Questo post è stato pubblicato il 12 Dicembre 2008 alle 19:03 ed è archiviato in V=PizzA con i tag , , , , , , , , , , , , . Puoi seguire i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

8 Risposte a “Disuguaglianza fra la media aritmetica e geometrica”

  1. mod_2 Dice:
    12 Dicembre 2008 a 19:15

    Una di quelle dimostrazioni che mi sono piaciute molto. :D

    Replica
  2. mitchan88 Dice:
    13 Dicembre 2008 a 12:03

    Oddio io l’ho sempre odiata questa dimostrazione invece xD Molto meglio quella con Jensen :P

    Replica
  3. edriv Dice:
    27 Dicembre 2008 a 08:53

    che dimostrazione truccosissima del cazzo xD

    jensen spacca

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  4. luca Dice:
    24 Aprile 2009 a 12:10

    ma verso la fine della dimostrazione, perchè P(Z-n) diventa magicamente P^Z-n?

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  5. Anonimo Dice:
    24 Aprile 2009 a 13:54

    bella, ma che bisogno c’è che Z sia una potenza di 2?

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  6. mod_2 Dice:
    24 Aprile 2009 a 21:16

    non ho avuto la possibilità di accedere all’internet in questi due giorni perché ero in viaggio, comunque vedo che hai chiarito i tuoi dubbi sul forum (sempre se sei Maioc92)…

    ma luca, Anonimo e Maioc92 sono la stessa persona?

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  7. exodd Dice:
    25 Aprile 2009 a 14:02

    scusa, anonimo ero io…
    Z perchè è una potenza di 2?

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  8. mod_2 Dice:
    25 Aprile 2009 a 15:03

    Ah, ciao!
    Che Z sia una potenza di 2 l’ho supposto io, il motivo è per ricondurmi al primo caso, come ha già spiegato Tibor sul forum.

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