«
»

La dimostrazione di AM-GM per mezzo di Jensen

Disuguaglianza di Jensen
Sia I \subseteq \mathbb{R} un sottoinsieme convesso, e sia f:I \rightarrow \mathbb{R} una funzione convessa. Siano x_1,...,x_n punti di I, e siano \lambda _1,... \lambda _n numeri reali tali che \lambda _1+...+\lambda _n=1.
Allora avremo f(\lambda _1x_1+...+\lambda _nx_n) \le \lambda _1f(x_1)+...+\lambda _nf(x_n).
A questo punto, se ponessimo \lambda _1=...=\lambda _n= \dfrac{1}{n}, la disuguaglianza diventerebbe f \left ( \dfrac{x_1+...+x_n}{n} \right ) \le \dfrac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n}
La disuguaglianza vale anche quando la funzione f è concava, naturalmente con il verso opposto.

.

Dimostrazione della disuguaglianza fra la media aritmetica e geometrica con la disuguaglianza di Jensen
f(x)=\ln(x) è una funzione concava, e quindi vale \ln(x_1)+...+\ln(x_n)\le n*\ln\left(\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\right) per Jensen. Per le proprietà dei logaritmi possiamo riscriverla in \ln(x_1x_2...x_n)\le \ln\left(\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\right)^n.
Il logaritmo naturale è una funzione crescente, perciò
x_1x_2...x_n\le \left(\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\right)^n, da cui \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \le \dfrac{x_1+...+x_n}{n}

Questo post è stato pubblicato il 29 Dicembre 2008 alle 14:05 ed è archiviato in V=PizzA con i tag , , , , , , , , , , , , , , . Puoi seguire i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.

3 Risposte a “La dimostrazione di AM-GM per mezzo di Jensen”

  1. mod_2 Dice:
    29 Dicembre 2008 a 14:08

    Visto “l’enorme successo” del post precedente :D
    In effetti, questa dimostrazione è molto più corta…

    Replica
  2. eucla Dice:
    30 Dicembre 2008 a 08:30

    Jensen? E che te ne fai??
    Si risolve tutto con AM-GM e al massimo Chebycheff proprio volendo! :mrgreen:

    Replica
  3. mitchan88 Dice:
    30 Dicembre 2008 a 12:47

    Hahaha :D

    Replica

Lascia un commento