Il baricentro e le mediane di un triangolo
Siano A, B, C i vertici di un triangolo, M il punto medio di AC, G il baricentro del triangolo e ,
,
,
e
i rispettivi vettori. Siano anche a, b, c i lati BC, AC e AB.
Vogliamo dimostrare che
1)
2) La mediana BM misura .
.
1) La retta AC è rappresentata da al variare della
nei reali. Dunque
. Allo stesso modo la retta BM è rappresentata da
, sostituendo
trovato nel punto precedente e ponendo
(perché BG è il doppio di GM) abbiamo che
.
Da notare che questa formula è indipendente da dove collochiamo l’origine.
.
2) Ricordiamo l’identità che può essere estesa anche a tre o più termini.
Adesso .
Sfruttando l’identità abbiamo che
.
Applicando ancora l’identità:
cioè:
Sostituendo questi ultimi nella (*) otteniamo da cui
.
A questo punto non è difficile provare che le altre due mediano misurano rispettivamente
.
Questo post è stato pubblicato il 9 Aprile 2009 alle 20:09 ed è archiviato in V=PizzA con i tag baricentro, baricentro in vettori, formula, formula baricentro, formula mediana, lunghezza, lunghezza mediana, madiane, mediana, rappresentazione in vettori, triangolo, vettore, vettori, vettoriale. Puoi seguire i commenti a questo post con il feed RSS 2.0. Puoi lasciare una risposta, o mandare un trackback dal tuo sito.
14 Ottobre 2009 a 19:38
nn si capisce una MinKIA
17 Ottobre 2009 a 20:56
si fanno cose spettacolari coi vettori eh?
ps. devi postare +spesso!