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9 Apr

Il baricentro e le mediane di un triangolo

Inserito da mod_2 in V=PizzA. Taggato con:, , , , , , , , , , , , , .

Siano A, B, C i vertici di un triangolo, M il punto medio di AC, G il baricentro del triangolo e \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}, \overrightarrow{M} e \overrightarrow{G} i rispettivi vettori. Siano anche a, b, c i lati BC, AC e AB.
Vogliamo dimostrare che
1) \overrightarrow{G}= \dfrac{ \overrightarrow{A}+ \overrightarrow{B}+ \overrightarrow{C}}{3}
2) La mediana BM misura \dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}.
.
1) La retta AC è rappresentata da r_{AC}:~A+ \lambda (\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}) al variare della \lambda nei reali. Dunque \overrightarrow{M}=\dfrac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}}{2}. Allo stesso modo la retta BM è rappresentata da r_{BM}: B+ \lambda (\overrightarrow{M}-\overrightarrow{B}), sostituendo \overrightarrow{M} trovato nel punto precedente e ponendo \lambda = \dfrac{2}{3} (perché BG è il doppio di GM) abbiamo che \overrightarrow{G}= \overrightarrow{B} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{C}-2 \overrightarrow{B}}{2}= \dfrac{\overrightarrow{A}+ \overrightarrow{B}+ \overrightarrow{C}}{3}.
Da notare che questa formula è indipendente da dove collochiamo l’origine.
.
2) Ricordiamo l’identità ||\overrightarrow{X}+ \overrightarrow{Y}||^2 = ||\overrightarrow{X}||^2+||\overrightarrow{Y}||^2+2\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{Y} che può essere estesa anche a tre o più termini.
Adesso BM=||\overrightarrow{B}- \overrightarrow{M}||=\dfrac{1}{2}||2\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}||.
Sfruttando l’identità abbiamo che ||2\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}||^2=
=4||\overrightarrow{B}||^2+||\overrightarrow{A}||^2+||\overrightarrow{C}||^2-4\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{A}-4\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{C}+2\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C}~(*).
Applicando ancora l’identità:
||\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}||^2=a^2=||\overrightarrow{B}||^2+||\overrightarrow{C}||^2-2\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{C}
||\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}||^2=b^2=||\overrightarrow{C}||^2+||\overrightarrow{A}||^2-2\overrightarrow{C} \cdot \overrightarrow{A}
||\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}||^2=c^2=||\overrightarrow{A}||^2+||\overrightarrow{B}||^2-2\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}
cioè:
2\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{C}=-a^2+||\overrightarrow{B}||^2+||\overrightarrow{C}||^2
2\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C}=-b^2+||\overrightarrow{A}||^2+||\overrightarrow{C}||^2
2\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{A}=-c^2+||\overrightarrow{B}||^2+||\overrightarrow{A}||^2
Sostituendo questi ultimi nella (*) otteniamo ||2\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}||^2=2c^2+2a^2-b^2 da cui BM=\dfrac{1}{2}||2\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}||=\dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}.
A questo punto non è difficile provare che le altre due mediano misurano rispettivamente
\dfrac{1}{2}\sqrt{2c^2+2b^2-a^2}
\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}
.


3 Risposte to this post.

  1. Posted by Anonimo on 14 Ottobre 2009 at 19:38

    nn si capisce una MinKIA

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  2. Posted by bboyjordan on 17 Ottobre 2009 at 20:56

    si fanno cose spettacolari coi vettori eh? ;-)

    ps. devi postare +spesso!

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  3. Posted by mod_2 on 29 Dicembre 2009 at 23:16

    Già :D
    Se potessi farei tutte le mie dimostrazioni di geometria con i vettori!

    Replica

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