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La dimostrazione di AM-GM per mezzo di Jensen

Posted in V=PizzA con i tag , , , , , , , , , , , , , , on 29 Dicembre 2008 by mod_2

Disuguaglianza di Jensen
Sia I \subseteq \mathbb{R} un sottoinsieme convesso, e sia f:I \rightarrow \mathbb{R} una funzione convessa. Siano x_1,...,x_n punti di I, e siano \lambda _1,... \lambda _n numeri reali tali che \lambda _1+...+\lambda _n=1.
Allora avremo f(\lambda _1x_1+...+\lambda _nx_n) \le \lambda _1f(x_1)+...+\lambda _nf(x_n).
A questo punto, se ponessimo \lambda _1=...=\lambda _n= \dfrac{1}{n}, la disuguaglianza diventerebbe f \left ( \dfrac{x_1+...+x_n}{n} \right ) \le \dfrac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n}
La disuguaglianza vale anche quando la funzione f è concava, naturalmente con il verso opposto.

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Disuguaglianza fra la media aritmetica e geometrica

Posted in V=PizzA con i tag , , , , , , , , , , , , on 12 Dicembre 2008 by mod_2

Dati n numeri reali positivi a_1,...,a_n si definisce
Media Aritmetica AM=\dfrac{a_1+...+a_n}{n}
Media Geometrica GM=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}
Allora AM deve essere maggiore o uguale di GM con il caso di uguaglianza solo quando gli a_i sono tutti uguali.
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Dimostrazione:
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Naturalmente se tutti gli a_i sono uguali allora avremo \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}=\sqrt[n]{a_1^n}=a_1=\dfrac{a_1 \cdot n}{n}=\dfrac{a_1+...+a_n}{n}.
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